ГДЗ Алгебра 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир. Номер 696

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ

Докажите, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9.

Пусть 3n + 1 первое натуральное число, тогда:
3n + 2 второе натуральное число.
Найдем сумму их кубов:

(3 n + 1)^{3} + (3 n + 2)^{3} = (3 n + 1 + 3 n + 2) ((3 n + 1)^{2} - (3 n + 1) (3 n + 2) + (3 n + 2)^{2}) = (6 n + 3) (9 n^{2} + 6 n + 1 - (9 n^{2} + 3 n + 6 n + 2) + 9 n^{2} + 12 n + 4) = 3 (2 n + 1) (9 n^{2} + 6 n + 1 - 9 n^{2} - 3 n - 6 n - 2 + 9 n^{2} + 12 n + 4) = 3 (2 n + 1) (9 n^{2} + 9 n + 3) = 3 (2 n + 1) * 3 (3 n^{2} + 3 n + 1) = 9 (2 n + 1) (3 n^{2} + 3 n + 1)

, следовательно сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно
3, делится нацело на
9.