ГДЗ Алгебра 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир. Номер 615

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может являться квадратом натурального числа.

Пусть n − 2 − первое число, тогда:
n − 1 − второе число;
n − третье число;
n + 1 − четвертое число;
n + 2 − пятое число, тогда:

(n - 2)^{2} + (n - 1)^{2} + n^{2} + (n + 1)^{2} + (n + 2)^{2} = n^{2} - 4 n + 4 + n^{2} - 2 n + 1 + n^{2} + n^{2} + 2 n + 1 + n^{2} + 4 n + 4 = (n^{2} + n^{2} + n^{2} + n^{2} + n^{2}) + (- 4 n - 2 n + 2 n + 4 n) + (4 + 1 + 1 + 4) = 5 n^{2} + 10 = 5 (n^{2} + 2)

Выражение

5 n^{2} + 10

нельзя представить в виде

(a n + b)^{2}

, следовательно не существует пяти последовательных чисел, сумма квадратов которых есть квадрат натурального числа.