ГДЗ Алгебра 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир. Номер 1179

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ

Докажите, что при любом значении n значение выражения

( n 2 − 3 n + 1 ) 2 − n 4 − 8 n 2 + 3 n + 5

кратно
6.

Решение заданий

Ответ к заданию

( n 2 − 3 n + 1 ) 2 − n 4 − 8 n 2 + 3 n + 5 = ( n 2 − 3 n ) 2 + 2 ( n 2 − 3 n ) + 1 − n 4 − 8 n 2 + 3 n + 5 = n 4 − 6 n 3 + 9 n 2 + 2 n 2 − 6 n + 1 − n 4 − 8 n 2 + 3 n + 5 = ( n 4 − n 4 ) − 6 n 3 + ( 9 n 2 + 2 n 2 − 8 n 2 ) + ( − 6 n + 3 n ) + ( 1 + 5 ) = − 6 n 3 + 3 n 2 − 3 n + 6 = ( − 6 n 3 + 6 ) + ( 3 n 2 − 3 n ) = − 6 ( n 3 − 1 ) + 3 n ( n − 1 )

Слагаемое

− 6 ( n 3 − 1 )

, а в слагаемом
3
n(n −
1) числа
n и
n −
1 последовательные, а значит одно из них четное, следовательно слагаемое
3
n(n −
1) также кратно
6. Поэтому в выражении

− 6 ( n 3 − 1 ) + 3 n ( n − 1 )

число
6 можно вынести за скобку, а значит данное выражение кратно
6.