ГДЗ Алгебра 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир. Номер 1001

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ

Докажите, что значение выражения

2^{36} + 4^{100} - 2^{32} - 4^{98}

кратно числу:

1)
15;

2)
240.

2^{36} + 4^{100} - 2^{32} - 4^{98} = 2^{36} + (2^{2})^{100} - 2^{32} - (2^{2})^{98} = 2^{36} + 2^{200} - 2^{32} - 2^{196} = (2^{36} - 2^{32}) + (2^{200} - 2^{196}) = 2^{32} (2^{4} - 1) + 2^{196} (2^{4} - 1) = (2^{4} - 1) (2^{32} + 2^{196}) = (16 - 1) (2^{32} + 2^{196}) = 15 (2^{32} + 2^{196})

, следовательно данное выражение кратно
15.

2^{36} + 4^{100} - 2^{32} - 4^{98} = 2^{36} + (2^{2})^{100} - 2^{32} - (2^{2})^{98} = 2^{36} + 2^{200} - 2^{32} - 2^{196} = (2^{36} - 2^{32}) + (2^{200} - 2^{196}) = 2^{32} (2^{4} - 1) + 2^{196} (2^{4} - 1) = (2^{4} - 1) (2^{32} + 2^{196}) = (16 - 1) (2^{32} + 2^{196}) = 15 (2^{32} + 2^{196}) = 15 * 2^{4} (2^{28} + 2^{192}) = 15 * 16 (2^{28} + 2^{192}) = 240 (2^{28} + 2^{192})

, следовательно данное выражение кратно
240.