ГДЗ Алгебра 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир. Номер 1206

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ

Докажите, что при любом натуральном значении n, не кратном 5, значение выражения

n 4 − 1

делится нацело на
5.

Решение заданий

Ответ к заданию

Пусть n = 5k + 1 − натуральное число не кратное 5, тогда:

n 4 − 1 = ( ( 5 k + 1 ) 2 − 1 ) ( ( 5 k + 1 ) 2 + 1 ) = ( 25 k 2 + 10 k + 1 − 1 ) ( 25 k 2 + 10 k + 1 + 1 ) = ( 25 k 2 + 10 k ) ( 25 k 2 + 10 k + 2 ) = 5 ( 5 k 2 + 2 k ) ( 25 k 2 + 10 k + 2 )

кратно
5.

Пусть
n =
5
k +
2 − натуральное число не кратное
5, тогда:

n 4 − 1 = ( ( 5 k + 2 ) 2 − 1 ) ( ( 5 k + 2 ) 2 + 1 ) = ( 25 k 2 + 20 k + 4 − 1 ) ( 25 k 2 + 20 k + 4 + 1 ) = ( 25 k 2 + 20 k + 3 ) ( 25 k 2 + 20 k + 5 ) = 5 ( 25 k 2 + 20 k + 3 ) ( 5 n 2 + 4 k + 1 )

кратно
5.

Пусть
n =
5
k +
3 − натуральное число не кратное
5, тогда:

n 4 − 1 = ( ( 5 k + 3 ) 2 − 1 ) ( ( 5 k + 3 ) 2 + 1 ) = ( 25 k 2 + 30 k + 9 − 1 ) ( 25 k 2 + 30 k + 9 + 1 ) = ( 25 k 2 + 30 k + 8 ) ( 25 k 2 + 30 k + 10 ) = 5 ( 25 k 2 + 30 k + 8 ) ( 5 k 2 + 6 k + 2 )

кратно
5.

Пусть
n =
5
k +
4 − натуральное число не кратное
5, тогда:

n 4 − 1 = ( ( 5 k + 4 ) 2 − 1 ) ( ( 5 k + 4 ) 2 + 1 ) = ( 25 k 2 + 40 k + 16 − 1 ) ( 25 k 2 + 40 k + 16 + 1 ) = ( 25 k 2 + 40 k + 15 ) ( 25 k 2 + 40 k + 17 ) = 5 ( 5 k 2 + 8 k + 3 ) ( 25 k 2 + 40 k + 17 )

кратно
5.